Question

從2003年開始，我國(guó)就通過實(shí)行高校自主招生探索人才選拔制度改革，允許部分高校拿出一定比例的招生名額，選拔哪些有特殊才能的學(xué)生．某學(xué)生參加一個(gè)高校的自主招生考試，考試分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)，筆試有A，B兩個(gè)題目，該學(xué)生答對(duì)A，B兩題的概率分別為

1

2

，

1

3

，兩題全部答對(duì)方可進(jìn)入面試．面試要回答甲、乙兩個(gè)問題，該學(xué)生答對(duì)兩個(gè)問題的概率均為

1

2

，至少答對(duì)一題即可被錄取．（假設(shè)每個(gè)環(huán)節(jié)的每個(gè)問題回答正確與否是相對(duì)獨(dú)立的）．
（I）求該學(xué)生被學(xué)校錄取的概率；?
（II）設(shè)該學(xué)生答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．?

Answer 1

分析：（I）由題意記”答對(duì)A，B，甲，乙各題分別為事件A，B，C，D，由于事件之間為獨(dú)立事件，故該學(xué)生被公司聘用的概率為：P（A•B）[1-P（

.

C

）P（

.

D

）]，利用獨(dú)立事件的公式即可算得；
（II）由題意由于隨機(jī)變量ξ表示該學(xué)生答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，由題意可得ξ的可能結(jié)果為：0，1，2，3，4，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件的概率公式借助于隨機(jī)變量的定義求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值下對(duì)應(yīng)的概率．在列出隨機(jī)變量的分布列，并利用分布列求出其期望．

解答：解：（I）由題意記”答對(duì)A，B，甲，乙各題分別為事件A，B，C，D，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=P（D）=

1

2

，
由題意及事件之間為獨(dú)立事件，故該學(xué)生被公司聘用的概率為：P（A•B）[1-P（

.

C

）P（

.

D

）]=

1

2

×

1

3

×（1-

1

2

×

1

2

）=

1

8

；
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（

.

A

.

B

）=

1

2

×

2

3

=

1

3

，
P（ξ=1）=P（

.

A

.

B

B+A

.

B

）=

1

2

×

1

3

+

1

2

×

2

3

=

1

2

，
P（ξ=2）=P（AB）P（

.

C

.

D

）=

1

2

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

24

，
P（ξ=3）=P（AB）P（C

.

D

+

.

C

D）=

1

2

×

1

3

×2×(

1

2

)2=

1

12

，
P（ξ=4）=P（AB）P（CD）=

1

2

×

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

24

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 3	1 2	1 24	1 12	1 24

∴Eξ=0×

1

3

+1×

1

2

+2×

1

24

+3×

1

12

+4×

1

24

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是正確求概率，確定變量的取值．