Question

a=-

1

2

是函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax為偶函數(shù)的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：對(duì)充分性和必要性分別加以論證：將a=-

1

2

代入函數(shù)的表達(dá)式，不難根據(jù)函數(shù)奇偶性定義得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，從而充分性成立；反之再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，用f（x）-f（-x）=0恒成立，采用比較系數(shù)法，可得a=-

1

2

，說明必要性成立．由此不難選出正確的選項(xiàng)．

解答：解：先看充分性
若a=-

1

2

，則函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）-

1

2

x=ln

ex+1

e 1 2 x

=ln（e

1

2

x+e-

1

2

x）
可得f（-x）=ln（e-

1

2

x+e

1

2

x）=f（x），函數(shù)是偶函數(shù)，充分性成立；
再看必要性
若函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax為偶函數(shù)，即
f（-x）=ln（e^-x+1）-ax=f（x），
可得ln（e^x+1）+ax-（ln（e^-x+1）-ax）=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立
∴ln(

ex+1

e-x+1

) +2ax=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
而

ex+1

e-x+1

=ex，上式變成ln（e^x）+2ax=（2a+1）x=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立
所以a=-

1

2

，可得必要性成立
綜上，a=-

1

2

是函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax為偶函數(shù)的充分必要條件
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的奇偶性為載體，考查了充分必要條件的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．在解題過程中將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用了比較系數(shù)的方法求常數(shù)a的值，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)這種常用數(shù)學(xué)方法．