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【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別是、，離心率，過點的直線交橢圓于、兩點， 的周長為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，圓： （）與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據的周長為16，可得，再根據離心率，得出，從而可得橢圓的方程；（2）根據圓及橢圓的對稱性可得， 兩點關于軸對稱，設， ，則，從而得出直線的方程，即可得到點的橫坐標，同理可得點的橫坐標，從而列出的表達式，化簡求值即可得到定值.

試題解析：（1）由題意得，則，

由，解得，

則，所以橢圓的方程為．

（2）證明：由條件可知， ， 兩點關于軸對稱，設， ，則，由題可知， ，

∴， ．

又直線的方程為，令得點的橫坐標，

同理可得點的橫坐標.

∴ ，即為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，且.

（Ⅰ）若，過原點作曲線的切線，求直線的方程；

（Ⅱ）若有個零點，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形， ， ， 平面， ， ．

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程；

(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個交點為為橢圓上的一點,當面積最大時,求點的坐標.

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【題目】已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點,為頂點的三角形的周長為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設該橢圓與軸的交點為, (點位于點的上方),直線與橢圓相交于不同的兩點 ,求證:直線與直線的交點在定直線上.

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【題目】已知直線： 與圓相交的弦長等于橢圓： （）的焦距長．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，橢圓與拋物線（）交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形， ， ， ，平面 平面， .

（1）求證： ；

（2）是否存在點，到四棱錐各頂點的距離都相等？說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】過圓上的點作圓的切線，過點作切線的垂線，若直線過拋物線的焦點.

（1）求直線與拋物線的方程；

（2）若直線與拋物線交于點，點在拋物線的準線上，且，求的面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是 (為參數)，以原點為極點， 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

(Ⅱ)已知直線與曲線交于， 兩點，與軸交于點，求.

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