Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₂=4，a₄=16．
（1）求
（2）記b_n=2•log₂a_n，證明：對(duì)任意的n∈N^*，有•…＞成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)a₂=4，a₄=16求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后代入進(jìn)行求解即可；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，①當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，然后證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，從而證得結(jié)論．
解答：解（1）可知q²=4，又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，∴l(xiāng)ga_n=lg2ⁿ=nlg2．
==
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225127489214411/SYS201311012251274892144018_DA/6.png">＞，所以不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即•…=•…＞
成立．則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=•…•=•…•
＞==＞
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及等差數(shù)列求和和利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于中檔題．