Question

【題目】已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上存在一點G到焦點的距離為3，且點G在圓C：x2+y2=9上． （Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C2： =1（m＞n＞0）的一個焦點與拋物線C1的焦點重合，且離心率為 ．直線l：y=kx﹣4交橢圓C2于A、B兩個不同的點，若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點G的坐標為（x0 ， y0），由題意可知 解得： ，
所以拋物線C1的方程為：y2=8x
（Ⅱ）由（Ⅰ）得拋物線C1的焦點F（2，0），
∵橢圓C2的一個焦點與拋物線C1的焦點重合∴橢圓C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，
∵橢圓C2的離心率為 ，∴ ， ，
∴橢圓C2的方程為：
設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0
由韋達定理得： ，
由△＞0（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0 或 …①
∵原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，則 ，
∴
=
=
= …②
由①、②得實數(shù)k的范圍是 或
【解析】（Ⅰ）設點G的坐標為（x0 ， y0），列出關于x0 ， y0 ， p的方程組，即可求解拋物線方程．（Ⅱ）利用已知條件推出m、n的關系，設（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式大于0，求出K的范圍，通過原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，推出 ，然后求解k的范圍即可．