【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的菱形, 為平面外一點(diǎn),且底面上的射影為四邊形的中心, 上一點(diǎn),

(Ⅰ)若上一點(diǎn),且,求證: 平面;

(Ⅱ)求二面角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)在上取點(diǎn),可證明四邊形為平行四邊形,得到,從而根據(jù)線面平行的判定定理得到平面;(Ⅱ)連接,因?yàn)?/span>為菱形,則,且.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直數(shù)量積為零,分別列方程組求出平面的法向量與平面的法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦弦值,進(jìn)而可得其正弦值.

試題解析:(Ⅰ)在上取點(diǎn),使得,連接,可證平面平面,從而得到平面

(或在上取點(diǎn),證明四邊形為平行四邊形得到,從而得到平面)

(Ⅱ)如圖,連接,因?yàn)?/span>為菱形,則,且.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>,故,

所以

知, ,

從而,

.

,

設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,

,得

,得

故可取

,得

故可取,

從而法向量的夾角的余弦值為

,

故所求二面角的正弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角以及線面平行的判定定理,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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