已知數(shù)列a,b,c為各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0),在a,b之間和b,c之間共插入m個實(shí)數(shù)后,所得到的m+3個數(shù)所組成的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比為q.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m個數(shù)的乘積(用a,c,m表示),求證:q是無理數(shù).
【答案】分析:(1)由題意可得1+d=q2,1+2d=q3,消去q可得 其正根為 d=.若插入的一個數(shù)在b,c之間,
則 1+d=q,1+2d=q3,消去q可得 1+2d=(1+d)3,此方程無正根.
(2)設(shè)在 a,b之間插入l個數(shù),在 b,c之間插入t個數(shù),則l+t=m,①若q為正數(shù),則 a2•a3…am+2=,
所插入 m 個數(shù)的積為 =;②若q 為負(fù)數(shù),所插入m個數(shù)的積為
(3)在等比數(shù)列{an},qm+2=2 ql+1 -1,m≥l,若q為整數(shù),2 ql+1 -qm+2 是q的倍數(shù),故1也是q的倍數(shù),矛盾.若q為分?jǐn)?shù),則 ym+2 是x的倍數(shù),即y是x的倍數(shù),矛盾,故q只能是無理數(shù).
解答:解:(1)由a=1,且等差數(shù)列a,b,c的公差為d,可知 b=1+d,c=1=2d,
若插入的一個數(shù)在 a,b之間,則 1+d=q2,1+2d=q3,
消去q可得 (1+2d)2=(1+d)3,其正根為 d=
若插入的一個數(shù)在b,c之間,則 1+d=q,1+2d=q3,
消去q可得 1+2d=(1+d)3,此方程無正根.故所求公差 d=.…(4分)
(2)設(shè)在 a,b之間插入l個數(shù),在 b,c之間插入t個數(shù),則l+t=m,在等比數(shù)列{an} 中,
∵a1=a,al+2=b=,am+3=c,ak•am+4-k=a1•am+3…,
∴(a2•a3…am+22=(a2•am+2 )•( a3•am+1)…(am+1•a3 )(am+2•a2)=(ac)m+1
 又∵ql+1=>0,qt+1=>0,l,t 都為奇數(shù),∴q 可以為正數(shù),也可以為負(fù)數(shù).
①若q為正數(shù),則 a2•a3…am+2=,所插入 m 個數(shù)的積為
=;
②若q 為負(fù)數(shù),a2,a3,…,am+2 中共有  個負(fù)數(shù),
當(dāng)  是奇數(shù),即 m=4k-2,k∈N+ 時(shí),所插入m個數(shù)的積為 = ;
當(dāng)是偶數(shù),即m=4k,k∈N+時(shí),所插入m個數(shù)的積為=-
綜上所述,所插入m個數(shù)的積為
(3)∵在等比數(shù)列{an},由ql+1 ==,可得 ql+1 -1=,同理可得 ,
∴qm+2-1=2(ql+1 -1),即qm+2=2 ql+1 -1,m≥l,
假設(shè)q是有理數(shù),若q為整數(shù),∵a,b,c是正數(shù),且d>0,∴|q|>1,
在 2 ql+1 -qm+2=1中,∵2 ql+1 -qm+2 是q的倍數(shù),故1也是q的倍數(shù),矛盾.
若q不是整數(shù),可設(shè)q= (其中x,y 為互素的整數(shù),x>1 ),
則有 =2-1,即 ym+2=xm-l+1(2yl+1-xl+1),
∵m≥l,可得 m-l+1≥1,∴ym+2 是x的倍數(shù),即y是x的倍數(shù),矛盾.
∴q是無理數(shù).
點(diǎn)評:本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì),通項(xiàng)公式;等比數(shù)列的定義和性質(zhì),等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;用反證法證明數(shù)學(xué)命題.證明q是無理數(shù),是解題的難點(diǎn).
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(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m個數(shù)的乘積(用a,c,m表示),求證:q是無理數(shù).

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(1)若a=1,m=1,求公差d;

(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m數(shù)的乘積(用a,cm表示)

(3)求證:q是無理數(shù).

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