過(guò)點(diǎn)C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BD交于點(diǎn)Q．

（I）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)；
（II）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值．

（I）    （II）=4

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為．
橢圓的右焦點(diǎn)為，此時(shí)直線(xiàn)的方程為 ，代入橢圓方程得，解得，代入直線(xiàn)的方程得 ，所以      
，故．     
（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)與題意不符．
設(shè)直線(xiàn)的方程為．代入橢圓方程得．
解得，代入直線(xiàn)的方程得，
所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又直線(xiàn)AC的方程為，又直線(xiàn)BD的方程為，聯(lián)立得因此，又．所以．故為定值．  
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，屬于圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)，求雙曲線(xiàn)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．設(shè)為直線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，其中為切點(diǎn)．
(1) 求拋物線(xiàn)的方程；
(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)上的定點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；
(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直接坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4，），判斷點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系；
（II）設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長(zhǎng)為4.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(II)直線(xiàn)x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),A、B是橢圓O上位于直線(xiàn)PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AB的斜率為.
①求四邊形APBQ面積的最大值；
②設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為，直線(xiàn)PB的斜率為，判斷+的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，直線(xiàn)與軌跡交于兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出軌跡的方程；
（Ⅱ）求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)也在橢圓上，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），，若橢圓的離心率為.
（1）若的面積等于，求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)與（1）中的橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為16，設(shè)線(xiàn)段MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與圓交于點(diǎn)N，且線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值為.
（1）求橢圓C以及圓O的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷直線(xiàn)與圓O的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．
（1）寫(xiě)出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)、，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程．

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