Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.

（2）若為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)為，，為的中點(diǎn).

①求證：軸；

②直線是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于到定點(diǎn)的距離，符合拋物線的定義，求軌跡的方程為；

（2）①設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程分別為：、，從而有，為方程的兩根，證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，從而證得軸；

②由①中的結(jié)論，把直線的方程寫成含有參數(shù)的形式，即

并把方程看成關(guān)于的一次函數(shù)，從而得到定點(diǎn)為。

（1）由動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離大1得，

動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于到定點(diǎn)的距離，

所以點(diǎn)的軌跡為頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向上的拋物線，其中，

軌跡方程為.

（2）①設(shè)切點(diǎn)，，，所以切線的斜率為，

切線.

設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得.

同理可得.

所以，為方程的兩根.

則有，，所以.

因此軸.

② 因?yàn)?/span>，

所以.又因?yàn)?/span>，

所以直線，即.

即直線過定點(diǎn).