Question

（12分）已知二次函數(shù)。

（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；

（2）問(wèn)是否存在常數(shù)t(t≥0)，當(dāng)x∈[t,10]時(shí)，f(x)的最大值與最小值之差為12-t。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）-20≤q≤12。

（2）存在常數(shù),8,9滿(mǎn)足條件。

 

【解析】（1）∵函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=8，

∴函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù)。

∵函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)，則必有：

即，∴-20≤q≤12。

（2）∵0≤t≤10，f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸是x=8。

①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)-f(8)=12-t,即t²-15t+52=0,解得，

所以；

②當(dāng)6<t≤8時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，

∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8；

③當(dāng)8＜t≤10時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，

∴f(10)-f(t)=12-t,解得t=8或9.，

∴t=9.

綜上所知，存在常數(shù),8,9滿(mǎn)足條件。