【題目】已知函數(shù)

(1)若是函數(shù)的極值點,求曲線在點處的切線方程;

(2)若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;

(3)設(shè)為正實數(shù),且,求證:

【答案】(1) ;(2);(3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)求出導(dǎo)數(shù),由題意可得代入可得可得切線的斜率和切點,進而得到切線的方程;(2)由函數(shù)上為增函數(shù),可得恒成立,既有,當(dāng), ,求得右邊函數(shù)的最小值,即可得到范圍;(3)運用分析法證明,要證,只需證,即證,設(shè)求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,運用單調(diào)遞增,即可得證.

試題解析:(1

由題意知,代入得,經(jīng)檢驗,符合題意.

從而切線斜率 ,切點為

切線方程為

2 因為上為單調(diào)增函數(shù),所以上恒成立. 上恒成立,當(dāng)時,由,,設(shè),所以當(dāng)且僅當(dāng), 有最小值, 所以的取值范圍是

3)要證,只需證,

即證只需證

設(shè)由(2上是單調(diào)函數(shù),又,

所以,成立,所以.

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出處的導(dǎo)數(shù),即在點 出的切線斜率(當(dāng)曲線處的切線與軸平行時,在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程.

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