【題目】求最大實(shí)數(shù)，使得對任意階簡單圖，有不等式，其中，為圖的邊數(shù)，為圖中三角形的個(gè)數(shù).

【答案】

【解析】

先證明一個(gè)引理.

引理 設(shè)階簡單圖有條邊，個(gè)三角形.則.

證明 因?yàn)?/span>階簡單圖中，個(gè)三角形共有條邊，且每條邊至多出現(xiàn)在個(gè)三角形當(dāng)中，所以，.

回到原題.

首先考慮特殊的階完全圖，有.

令，則.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意階簡單圖成立.

當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

當(dāng)時(shí)，取為階簡單圖中度數(shù)最小的頂點(diǎn)，設(shè)其度數(shù)為，并設(shè)余下的個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的簡單圖中有條邊，個(gè)三角形.則由引理知.①

由歸納假設(shè)知.②

因?yàn)辄c(diǎn)度數(shù)最小，所以，.③

設(shè)與點(diǎn)相鄰的個(gè)頂點(diǎn)之間連有條邊，這條邊每條和點(diǎn)都形成一個(gè)三角形.故只需證明

. ④

易知，，.⑤

因此，.

將式①、③代入上式得.⑥

又由式⑤知.⑦

由式②、⑥、⑦知式④成立，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

從而，對所有，結(jié)論成立.

因此，.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】，.

（1）若在是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍；

（2）若在上最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）若在時(shí)恒成立，求a的取值范圍.

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甲說：“是或作品獲得一等獎”；

乙說：“作品獲得一等獎”；

丙說：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎”；

丁說：“是作品獲得一等獎”.

若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．

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【題目】從左到右依次寫出1到10000的全部正整數(shù)，然后去掉那些能被5或7整除的數(shù)，將剩下的數(shù)連成一排組成一個(gè)新數(shù)。試求：

（1）新數(shù)的位數(shù)；

（2）新數(shù)被11除的余數(shù)。

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【題目】已知函數(shù)，其中，，.

（Ⅰ）若是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

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求n的值；

若取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)，求全為大集團(tuán)的概率；

若一次抽取4個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望．

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若為橢圓上任意-點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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蔬菜量X

[40，80）

[80，120）

[120，160）

[160，200）

天數(shù)

25

50

100

25

若將頻率視為概率，試解答如下問題：

（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定隨機(jī)抽出3天的數(shù)據(jù)來分析配送的蔬菜量的情況，求這3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；

（2）該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運(yùn)營從甲地到乙地的蔬菜運(yùn)輸．已知一輛貨車每天只能運(yùn)營一趟，每輛貨車每趟最多可裝載40件，滿載才發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利2000元；若未發(fā)車，則每輛貨車每天平均虧損400元．為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)的營業(yè)利潤最大，該物流公司應(yīng)一次性租賃幾輛貨車？

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