Question

若不等式lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

≥（x-1）lgn對(duì)任意不大于1的實(shí)數(shù)x和大于1的正整數(shù)n都成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（-∞，0]
• C、[

  1

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，

  1

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件知當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）lgn取最大值0，此時(shí)lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

=lg（

n+1

2

-a）≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：∵x≤1，n是大于1的正整數(shù)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）lgn取最大值0，
此時(shí)lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

=lg（

1+2+3+…+n

n

-a）
=lg（

n+1

2

-a）≥0，
∴

n+1

2

-a≥1對(duì)任意大于1的正整數(shù)n都成立，
∴a≤

n+1

2

-1≤

3

2

-1=

1

2

，
∴a的取值范圍是（-∞，

1

2

]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．