已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓

心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個更一般的結(jié)論？并且對雙曲線寫出一個類似的結(jié)論（皆不必證明）．

 

【答案】

解：（Ⅰ）由題知圓圓心為，半徑為，設(shè)動圓的圓心為

半徑為，，由,可知點在圓內(nèi)，所以點的軌跡是以為焦點

的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，由，得，

故曲線的方程為                  ………………………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時，由可得

當(dāng)，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點

當(dāng)，時，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個交點

當(dāng)時得，代入，消去整理得：

--------------------------------①  …………6分

由點為曲線上一點，故．即

于是方程①可以化簡為：

解得．將代入得，說明直線與曲線有且只有一個交點．

綜上，不論點在何位置，直線：與曲線恒有且只有一個交點，交點即                               …………………………………………8分

（Ⅲ）更一般的結(jié)論：對橢圓，過其上任意一點的切線方程為；

在雙曲線中的類似的結(jié)論是：過雙曲線 上任意一點的切線方程為：．…………………………………12分

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（03年北京卷理）（13分）

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上.

   （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；

   （Ⅱ）設(shè)過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點.

        （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；

        （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆貴州省五校高三第五次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)（暨遵義四中第13次月考） 題型：解答題

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓
心的軌跡為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．
（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個更一般的結(jié)論？并且對雙曲線寫出一個類似的結(jié)論（皆不必證明）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆貴州省五校高三第五次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)（暨遵義四中第13次月考） 題型：解答題

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓
心的軌跡為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年貴州省第13次月考） 題型：解答題

已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓

心的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若點為曲線上任意一點，證明直線與曲線恒有且只有一個公共點．

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案