Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）消去t，可得直線(xiàn)的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得極坐標(biāo)方程；
（2）將橢圓參數(shù)方程化為普通方程，再將直線(xiàn)參數(shù)方程代入橢圓方程，解方程可得t，由參數(shù)的幾何意義，即可得到所求弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
可得l的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得極坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0；
（2）由橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
由sin²θ+cos²θ=1，可得橢圓C的普通方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
將直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
得（1+$\frac{1}{2}$t）²+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}}{4}$=1，
即7t2+16t=0，解得t₁=0，t₂=-$\frac{16}{7}$，
所以|AB|=|t₁-t₂=$\frac{16}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的互化，以及直線(xiàn)參數(shù)方程的運(yùn)用，考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．