Question

（2013•麗水一模）離心率為e₁的橢圓與離心率為e₂的雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓長軸的端點(diǎn)、短軸的端點(diǎn)、焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離依次構(gòu)成等比數(shù)列，則

e 2 1 -1

e 2 2 -1

=（　�。�

• A．-e₁
• B．-e₂
• C．-

  1

  e1

• D．-

  1

  e2

Answer 1

分析：設(shè)橢圓方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1，雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1，它們一個(gè)公共的焦點(diǎn)為F（c，0）．由點(diǎn)到直線的距離公式，分別算出橢圓長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離關(guān)于a₁、b₁、a、b和c的式子，利用等比關(guān)系建立等式，化簡(jiǎn)得a²b 12=b²ca₁，由此對(duì)

e 2 1 -1

e 2 2 -1

進(jìn)行化簡(jiǎn)可得它的值為-e₁，從而得到本題答案．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0），雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0）
它們一個(gè)公共的焦點(diǎn)為F（c，0）
∵橢圓長軸端點(diǎn)A到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|AC|=

|ba1|

a2+b2

=

ba1

c

 橢圓短軸軸端點(diǎn)B到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|BD|=

|ab1|

a2+b2

=

ab 1

c

橢圓焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線bx-ay=0的距離|FG|=

|bc|

a2+b2

=b
∴(

ab 1

c

)2=

ba1

c

•b，可得a²b 12=b²ca₁
因此，

e 2 1 -1

e 2 2 -1

=

( c a1 )2-1

( c a )2-1

=

c2-a12 a12

c2-a2 a2

=-

b12

a12

•

a2

b2

=-

b2ca1

a12b2

=-

c

a1

=-e₁
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線，在已知點(diǎn)到直線的距離成等比數(shù)列情況下化簡(jiǎn)關(guān)于離心率的分式的值，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．