Question

一條直線l被兩條直線：4x＋3y＋6=0和3x－5y－6=0截得的線段中心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

答案：x+6y=0
解析：

解法1：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)由題意知，直線l過原點(diǎn)，則設(shè)直線l的方程為y=kx． 由 由 ∵點(diǎn)(0，0)是上述兩個點(diǎn)的中點(diǎn)， ∴ 解可得． ∴所求直線的方程為，即為x＋6y=0． 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線即為y軸，而y軸和兩條已知直線的交點(diǎn)分別為(0，－6)和，顯然不滿足中點(diǎn)為原點(diǎn)的要求． 綜上可知所求直線的方程為x＋6y=0． 解法2：依題意知l過原點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)可設(shè)l的方程為y=kx． 設(shè)l與兩已知直線的交點(diǎn)分別為，， 則解得 又根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式有解得． 因?yàn)楫?dāng)k不存在時(shí)，l即為軸，而y軸和兩已知直線的交點(diǎn)分別為(0，6)和，顯然不滿足中點(diǎn)是原點(diǎn)的要求．因此所求直線方程為，即x＋6y=0． 解法3：設(shè)所求直線l與直線4x＋y＋6=0，以及3x－5y－6=0的交點(diǎn)分別為A、B，且A()， ∵線段AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為B． 又由點(diǎn)A、B分別在已知直線上， ∴ ∴ 又∵直線l過原點(diǎn)， ∴直線l斜率， 直線l方程為．

提示：

方法1：由于所求直線被兩條已知直線截得線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即所求的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，因此所求的直線方程可以設(shè)為． 方法2：由于直線l與兩已知直線交點(diǎn)所得線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，可設(shè)一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，表示出一個定點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩交點(diǎn)分別在兩已知直線上，可列出關(guān)于的方程組，求出即可．再根據(jù)所求直線過原點(diǎn)，可得直線l的方程．