已知函數(shù)f（x）=ax+
1x
，且f（1）=-2．
（1）求f（x）的解析式，并判斷它的奇偶性；
（2）求證：函數(shù)f（x）在 （0，+∞）上是單調減函數(shù)．
分析：（1）將x=1代入即可求得a的值，利用奇偶函數(shù)的定義即可判斷出其奇偶性；
（2）利用減函數(shù)的定義即可證出．
解答：解：（1）∵f（1）=-2，∴a+1=-2，解得a=-3，∴f(x)=-3x+
1
x
，（x≠0）．
f(-x)=-3(-x)+
1
-x
=-（-3x+
1
x
)=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）?0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，
1
x1x2
＞0．
則f（x1）-f（x2）=(-3x1+
1
x1
)-(-3x2+
1
x2
)=(x2-x1)(3+
1
x1x2
)＞0，
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函數(shù)f（x）在 （0，+∞）上是單調減函數(shù)．
點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性和單調性是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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