Question

設偶函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，當x∈[-3，-2]時，f（x）=4x+12，則f（112.5）的值為（　�。�

A、2

B、3

C、4

D、5

Answer 1

分析：由f（x）+f（x+1）=4我們可得，我們易得f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x），即f（x）是周期為2的偶函數(shù)，由函數(shù)周期性和奇偶性的性質(zhì)，我們易將f（112.5）的自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間[-3，-2]中，進而得到f（112.5）的值．

解答：解：∵對任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4
∴f（x+1）=4-f（x）
∴f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x）
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)
f（112.5）=f（112.5-2×55）=f（2.5）=f（-2.5）
-2.5∈[-3，-2]，所以f（-2.5）=4×（-2.5）+12=2
f（112.5）=2
故選A

點評：我們要求抽象函數(shù)的函數(shù)值，而自變量均大時，一般我們要用到函數(shù)的周期性，求函數(shù)的最小正周期是解題的關鍵．