Question

如圖，在五面體ABCDEF中，，，，

（Ⅰ）求異面直線BF與DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）存在，點(diǎn)M為CE中點(diǎn)。

試題分析：解法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，                              ……2分

不妨設(shè)AB＝１
則     
（Ⅰ）
                                ……5分
異面直線BF與DE所成角的余弦值為．                                  ……6分
（Ⅱ）設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為

得
     令                           ……8分
設(shè)存在點(diǎn)M滿足條件，由

　                                                       ……10分
直線AM與平面CDE所成角的正弦值為
 
故當(dāng)點(diǎn)M為CE中點(diǎn)時(shí)，直線AM與面CDE所成角的正弦值為．                 ……13分
解法二：（Ⅰ）不妨設(shè)AB＝１，且

∴∠CED異面直線BF與DE所成角      
CE=BF=,ED=DC=,

所以，異面直線BF與DE所成角的余弦值為                                  ……6分
（Ⅱ）令A(yù)到平面CDE距離為h，在AD上取點(diǎn)N，使得EF=AN，連結(jié)EN
，為平行四邊形
                                          ……8分

                                                 ……10分
令A(yù)M與平面CDE所成角為，
過(guò)M作MG//EF交FB于G
在平行四邊形EFBC中，MG=BC=1
中
解得：，為FB的中點(diǎn)
MG//EF，為EC的中點(diǎn)。                                               ……13分
點(diǎn)評(píng)：從近些年看，以多面體為載體，重點(diǎn)考查直線與平面的位置關(guān)系一直是高考立體幾何命題的熱點(diǎn)．因?yàn)檫@類(lèi)題目既可以考查多面體的概念和性質(zhì)，又能考查空間的線面關(guān)系，并將論證和計(jì)算有機(jī)地結(jié)合在一起