【題目】若數(shù)列滿足“對任意正整數(shù),都存在正整數(shù),使得”,則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.已知數(shù)列為無窮數(shù)列.
(1)若為等比數(shù)列,且,判斷數(shù)列是否具有“性質(zhì)”,并說明理由;
(2)若為等差數(shù)列,且公差,求證:數(shù)列不具有“性質(zhì)”;
(3)若等差數(shù)列具有“性質(zhì)”,且,求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)數(shù)列具有“性質(zhì)”.見解析(2)見解析(3)
【解析】
(1)由題可知,為等比數(shù)列,且,設(shè)數(shù)列的公比為,則,,根據(jù)條件整理得出,所以數(shù)列具有“性質(zhì)”;
(2)由于為等差數(shù)列,且公差,則,分類討論和時,都得出不存在正整數(shù),使得,則當(dāng)時,數(shù)列不具有“性質(zhì)”;
(3)已知等差數(shù)列具有“性質(zhì)”,且,設(shè)數(shù)列的公差為,則,且對任意,都存在正整數(shù),使得,結(jié)合條件可求出或,即可求出數(shù)列的通項公式.
(1)解:數(shù)列具有“性質(zhì)”.
由題可知,為等比數(shù)列,且,
設(shè)數(shù)列的公比為,則,,
對任意正整數(shù),,,
因為,所以,則,
即對任意正整數(shù),,存在,使得,
所以數(shù)列具有“性質(zhì)”.
(2)證明:由于為等差數(shù)列,且公差,
則,
①若,則,,
所以不存在正整數(shù),使得.
②若,則當(dāng)時,
,,
所以不存在正整數(shù),使得;
綜上,當(dāng)時,數(shù)列不具有“性質(zhì)”.
(3) 解:已知等差數(shù)列具有“性質(zhì)”,且,
設(shè)數(shù)列的公差為,則,
由已知,對任意,都存在正整數(shù),使得,
即,
所以,且 ①
對任意,設(shè),
,,
所以,得,
因此 ②
由(2)知,
又由①、②可得或,
當(dāng)時,,,不滿足要求,
所以,,
可以驗證滿足要求.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,.以,為鄰邊作平行四邊形,連接和.
(1)求證:平面;
(2)線段上是否存在點,使平面與平面垂直?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知圓與橢圓相交于點M(0,1),N(0,-1),且橢圓的離心率為.
(1)求的值和橢圓C的方程;
(2)過點M的直線交圓O和橢圓C分別于A,B兩點.
①若,求直線的方程;
②設(shè)直線NA的斜率為,直線NB的斜率為,問:是否為定值? 如果是,求出定值;如果不是,說明理由.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點的連線相互垂直.
(1)求橢圓的方程;
(2)若圓上存在兩點,,橢圓上存在兩個點滿足:三點共線,三點共線,且,求四邊形面積的取值范圍.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】共享單車又稱為小黃車,近年來逐漸走進了人們的生活,也成為減少空氣污染,緩解城市交通壓力的一種重要手段.為調(diào)查某地區(qū)居民對共享單車的使用情況,從該地區(qū)居民中按年齡用隨機抽樣的方式隨機抽取了人進行問卷調(diào)查,得到這人對共享單車的評價得分統(tǒng)計填入莖葉圖,如下所示(滿分分):
(1)找出居民問卷得分的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)請計算這位居民問卷的平均得分;
(3)若在成績?yōu)?/span>分的居民中隨機抽取人,求恰有人成績超過分的概率.
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【題目】埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇跡之一,其中較為著名的是胡夫金字塔.令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿,還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周長如果除以其高度的兩倍,得到的商為3.14159,這就是圓周率較為精確的近似值.金字塔底部形為正方形,整個塔形為正四棱錐,經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后,底座邊長大約230米.因年久風(fēng)化,頂端剝落10米,則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為( )
A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米
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【題目】已知拋物線的頂點是橢圓的中心,焦點與該橢圓的右焦點重合.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知動直線過點,交拋物線于,兩點,坐標(biāo)原點為的中點,求證;
(3)在(2)的條件下,是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,請說明理由.
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