已知函數f(x)=(x+1)2
(1)當1≤x≤m時,為等式f(x-3)≤x恒成立,求實數m的最大值;
(2)在曲線y=f(x+t)上存在兩點關于直線y=x對稱,求t的取值范圍.
分析:(1)直線y=x與曲線y=f(x-3)方程聯立求得交點坐標,根據y=f(x-3)在區(qū)間[1,4]上圖象在直線y=x的下面,判斷出f(x-3)≤x恒成立,所以m的最大值為4進而求得m的最大值.
(2)設曲線上關于直線y=x的對稱點線段AB的中點M的坐標以及直線AB的方程與f(x+t)聯立利用韋達定理表示出x1+x2進而可表示出x0利用直線方程表示出y0代入直線y=x求得b和t的關系,利用t和b的不等式關系求得t的范圍.
解答:解:(1)直線y=x與曲線y=f(x-3)的交點可由
?x
2-5x+4=0
求得交點為(1,1)和(4,4),
此時y=f(x-3)在區(qū)間[1,4]上圖象在直線y=x的下面,
即f(x-3)≤x恒成立,所以m的最大值為4.
(2)設曲線上關于直線y=x的對稱點為A(x
1,y
1)和B(x
2,y
2),
線段AB的中點M(x
0,y
0),直線AB的方程為:y=-x+b.
?x
2+(2t+3)x+(t+1)
2-b=0
△=(2t+3)
2-4[(t+1)
2-b]=4t+5+4b>0(1)
x
1+x
2=-2t-3,x
0=-
,
y
0=-x
0+b=
+b
又因為AB中點在直線y=x上,所以y
0=x
0即-
=
+b
得b=-2t-3,代入(1)式4t+5+4b>0,得t<-
.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系.考查了學生分析問題和函數思想的運用.