(I)設(shè)a>0,b>0求證:a3+b3≥a2b+ab2
(II)設(shè)a>0,b>0,c>0,且a,b,c不且相等,求證:lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
c+a
2
>lga+lgb+lgc
分析:(Ⅰ)a3+b3≥a2b+ab2?a3+b3-a2b-ab2≥0?(a-b)2(a+b)≥0,結(jié)合a>0,b>0,問題即可解決;
(Ⅱ)a>0,b>0,c>0,⇒
a+b
2
ab
,
b+c
2
bc
,
a+c
2
ac
,于是lg
a+b
2
≥lg
ab
=
1
2
(lga+lgb),同理可得lg
b+c
2
1
2
(lab+lgc),lg
a+c
2
1
2
(lga+lgc),又a,b,c不且相等,同向不等式相加即可.
解答:證明:(Ⅰ)∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b),
又a>0,b>0,
∴a+b>0,(a-b)2≥0,
∴(a-b)2(a+b)≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2;
(Ⅱ)∵a>0,b>0,c>0,
a+b
2
ab
,
b+c
2
bc
,
a+c
2
ac
,
∴l(xiāng)g
a+b
2
≥lg
ab
=
1
2
(lga+lgb)①,同理可得lg
b+c
2
1
2
(lab+lgc)②,lg
a+c
2
1
2
(lga+lgc)③,
①+②+③得:
lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
c+a
2
≥lga+lgb+lgc

又a,b,c不全相等,
lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
c+a
2
>lga+lgb+lgc
點評:本題考查不等式的證明,著重考查證明不等式的方法:作差法與綜合法,注重基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.
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1
a
+
1
b
的最小值為m,記滿足x2+y2≤3m的所有整點坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),則
n
i=1
|xiyi|
20
20

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(II)設(shè)a>0,b>0,c>0,且a,b,c不且相等,求證:lg
a+b
2
+lg
b+c
2
+lg
c+a
2
>lga+lgb+lgc

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