Question

以下四個(gè)命題：
①工廠制造的某機(jī)械零件尺寸ξ～N（4，

1

9

），在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5）這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．
②拋擲n次硬幣，記不連續(xù)出現(xiàn)兩次正面向上的概率為P_n，則

lim

n→∞

P_n=0
③若直線ax+by-3a=0與雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有2條．
④已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

+a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在x₁，x₂∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（x₁）-g（x₂）|≤9，則a的取值范圍是（1，4]．
其中正確的命題是

①②④

（寫(xiě)出所有正確的命題序號(hào)）

Answer 1

分析：①根據(jù)3σ原則知不屬于（μ-3σ，μ+3σ）的事件為小概率事件，其概率為0.3%；
②根據(jù)統(tǒng)計(jì)的意義，拋擲硬幣次數(shù)足夠多時(shí)，不連續(xù)出現(xiàn)兩次正面向上幾乎不可能發(fā)生；
③直線ax+by-3a=0恒過(guò)定點(diǎn)（3，0），與雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
④確定f（x）的最小值，g（x）在[

1

a

，a]（a＞1上的最大值，從而可得|a²+2-（2a+1）|≤9，由此可得a的取值范圍．

解答：解：①ξ～N（4，

1

9

），則μ=4，σ=

1

3

，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5），由3σ原則知不屬于（μ-3σ，μ+3σ）的事件為小概率事件，其概率為0.3%，所以1000個(gè)零件中有3個(gè)不在范圍內(nèi)，故①正確；
②根據(jù)統(tǒng)計(jì)的意義，拋擲硬幣次數(shù)足夠多時(shí)，不連續(xù)出現(xiàn)兩次正面向上幾乎不可能發(fā)生，所以

lim

n→∞

P_n=0，故②正確；
③直線ax+by-3a=0恒過(guò)定點(diǎn)（3，0），與雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條，兩條與漸近線平行，一條與雙曲線相切，故③不正確；
④當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的最小值為2+a²，g（x）在[

1

a

，a]（a＞1上的最大值為a³-a³+2a+1=2a+1，故|a²+2-（2a+1）|≤9，所以|a²-2a+1|≤9，所以a²-2a+10≥0且a²-2a-8≤0，即（a-4）（a+2）≤0，所以-2≤a≤4，因?yàn)閍＞1，所以a的取值范圍是（1，4]，故④正確；
綜上可知，正確的命題是①②④
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)．