Question

如圖，是等邊三角形，，，將沿折疊到的位置，使得．

(1)求證：；

(2)若，分別是,的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析；(2).

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)已知條件可得以及，有直線與平面垂直的判定定理可得，再根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得；(2)有邊的關(guān)系，設(shè)，則，再由線段，，互相垂直，以三邊所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量為以及平面的一個(gè)法向量是，將所求二面角的余弦值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值問(wèn)題.

試題解析：(1)證明：∵，∴，

又∵，且,

∴，

∵，

∴.

(2)∵是等邊三角形，

，，

不妨設(shè)，則，

又∵，分別為、的中點(diǎn)，

由此以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有，，，，，，

∴，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，

∴.

又平面的一個(gè)法向量是，

∴，

∴二面角的余弦值為.                   .12分

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理；3.二面角；4.平面的法向量；5.空間向量的數(shù)量積及夾角