Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且不平行于軸的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，得，顯然直線的斜率存在且不為0，
則可設(shè)直線的方程為（），，，
由消去，得，顯然.
所以，. ………………………………………………2分
由，得，所以，
所以，直線的斜率為，
所以，直線的方程為，又，
所以，直線的方程為 ①.………………………………4分
同理，直線的方程為 ②.………………………………5分
②-①并據(jù)得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，
即，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.  ……………………7分
（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k,-1）().
所以，
則直線MF的方程為，   …………………………………………8分
設(shè)C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)
由消去，得，顯然，
所以，.    …………………………………………9分
又
.…………10分

.……………12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211148555676.png" style="vertical-align:middle;" />，所以 ，    
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值.……………………14分

略