已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為
 
分析:g(x)=
f(x)
ex
,利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性.再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得g(0)=1,即可得出.
解答:解:令g(x)=
f(x)
ex
,
g(x)=
f(x)ex-f(x)ex
(ex)2
=
f(x)-f(x)
e2
,
∵f′(x)<f(x),∴g′(x)<0.
∴g(x)在R上單調(diào)遞減.
∵函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù),
∴函數(shù)f(-x+2)=f(x+2),
∴函數(shù)關(guān)于x=2對稱,
∴f(0)=f(4)=1,
原不等式等價為g(x)<1,
∵g(0)=
f(0)
e0
=1.
∴g(x)<1?g(x)<g(0),
∵g(x)在R上單調(diào)遞減,
∴x>0.
∴不等式f(x)<ex的解集為(0,+∞).
故答案為:(0,+∞).
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x)且y=f(x+1)為偶函數(shù),f(2)=1,則不等式f(x)<ex的解集為
(0,+∞)
(0,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)為偶函數(shù),f(2)=1,則不等式f(x)<ex的解集為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照二模)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x)=f(-x),且當x≠0時,有x•f′(x)<0,現(xiàn)設(shè)a=f(-sin32°),b=f(cos32°),則實數(shù)a,b的大小關(guān)系是
a>b
a>b

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案