Question

已知橢圓的左右焦點為，拋物線C：以F₂為焦點且與橢圓相交于點、,點在軸上方，直線與拋物線相切.
（1）求拋物線的方程和點、的坐標；
（2）設(shè)A,B是拋物線C上兩動點，如果直線，與軸分別交于點. 是以,為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由.

Answer 1

（1）M、N的坐標分別為（1，2）、（1，－2）。
（2）為定值

試題分析：解：（1）由橢圓方程得半焦距          1分
所以橢圓焦點為                      
又拋物線C的焦點為     3分
∵在拋物線C上，
∴，直線的方程為          4分
代入拋物線C得
                         5分
∵與拋物線C相切，
，             6分
      ∴ M、N的坐標分別為（1，2）、（1，－2）。    7分
（2）直線AB的斜率為定值­—1.
證明如下：設(shè)，，，A、B在拋物線上，
由①-③得，
由②-③得， １０分
因為是以MP,MQ為腰的等腰三角形，所以  １０分
由得 化簡整理，
得
由得：
為定值   14分
解法二：設(shè)，    6分
則，    8分
因為是以MP,MQ為腰的等腰三角形，所以    10分
即
所以                     
所以，由得     12分
所以，
所以，直線AB的斜率為定值，這個定值為  14分
點評：主要是考查了拋物線方程的方程的求解以及直線與拋物線的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。