Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ） （-π＜φ＜0）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（

π

8

，0）
（1）求φ；
（2）求函數(shù)y=f（x）在，[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（3）令g（x）=f（x+

3π

4

），解不等式log₂[2g（x）+1]≥1．

Answer 1

分析：（1）由題意知2×

π

8

+φ=2kπ（k∈Z），進(jìn)而結(jié)合φ的范圍可得答案．
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得-

π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，(k∈Z)，再結(jié)合x(chóng)的范圍給k取值可得答案．
（3）由題意得到g（x）=-cos（2x-

π

4

），所以可得log₂[-2cos（2x-

π

4

）+1]≥1，即cos（2x-

π

4

）≤-

1

2

，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可．

解答：解：（1）由題意知2×

π

8

+φ=2kπ（k∈Z），
因?yàn)?π＜φ＜0，所以k=0，φ=-

π

4

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，(k∈Z)，可得-

π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，(k∈Z)．
因?yàn)閤∈[0，π]，所以當(dāng)k=0，1時(shí)，得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0，

3π

8

]，[

7π

8

，π]．
（3）由題意可得：g（x）=f（x+

3π

4

）=sin[2（x+

3π

4

）-

π

4

]=sin（2x-

π

4

+

3π

2

）=-cos（2x-

π

4

），
所以log₂[2g（x）+1]=log₂[-2cos（2x-

π

4

）+1]≥1，
即可得cos（2x-

π

4

）≤-

1

2

，
所以

2π

3

+2kπ≤2x-

π

4

≤

4π

3

+2kπ，(k∈Z)，
所以

11π

24

+kπ≤x≤

19π

24

+kπ，(k∈Z)
所以不等式的解集為[

11π

24

+kπ，

19π

24

+kπ]，(k∈Z)．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，并且結(jié)合正確的運(yùn)算．