Question

【題目】若為某一整系數(shù)多項式的根，則稱為“代數(shù)數(shù)”.否則，稱為“超越數(shù)”，證明：

（1）可數(shù)個可數(shù)集的并為可數(shù)集；

（2）存在超越數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）設為可數(shù)集（注意到，題中所述的可數(shù)集有可數(shù)個.則可對這些集合進行自然數(shù)編號）.

設.

將與對應（、均為正整數(shù)），則為有理數(shù).故中有元素與有理數(shù)集中的元素一一對應.

因為有理數(shù)集為可數(shù)集，所以，為可數(shù)集.

（2）設所有次整系數(shù)多項式的根構成的集合為.

只需證明：次整系數(shù)多項式有可數(shù)個，即，

其中，均為正整數(shù)，有可數(shù)種取值.

用數(shù)學歸納法證明.

（i）證明有可數(shù)個，

對固定的、有可數(shù)種取值，又有可數(shù)種取值，由（1）知可數(shù)個可數(shù)集的并為可數(shù)集.因此，有可數(shù)個.

（ii）假設有可數(shù)個.

對固定的，則有可數(shù)個.

又有可數(shù)種取值，則由（1）知有可數(shù)個，每個整系數(shù)多項式有可數(shù)個根，而次整系數(shù)多項式有可數(shù)個，故次整系數(shù)多項式的所有根構成的集合為可數(shù)集.

由（1）知為可數(shù)集，即代數(shù)數(shù)集為可數(shù)集.

又為不可數(shù)集，故超越數(shù)一定存在.