Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的極大值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，在恒成立.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為零，劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可求得函數(shù)的極大值；

（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，要證在區(qū)間恒成立，即證恒成立；故而在參數(shù)的不同情況下，求得函數(shù)的最小值，通過(guò)證明函數(shù)的最小值大于等于零，從而證明恒成立.

（1）當(dāng)時(shí)，

故，

令，解得，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

故的極大值為.

（2）因?yàn)?/span>，

故可得

因?yàn)?/span>，故；

故①當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間恒成立，且不恒為零，

則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則>0

故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立；

②當(dāng)時(shí)，令，解得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則

令，

則，則，

因?yàn)?/span>，故

即可得在區(qū)間上恒成立，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，故在區(qū)間上恒成立，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，

也即函數(shù)在區(qū)間上恒成立，

故當(dāng)時(shí)，恒成立.

也即時(shí)，在區(qū)間上恒成立.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立.

即證.