Question

已知x=0是函數(shù)f（x）=（x²+bx）e^ax（a≥0）的一個極值點．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若y=f（x）-m恰有一零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=（2x+b）e^ax+a（x²+bx）e^ax=（ax²+（ab+2）x+b）e^ax，代入f′（0）=b=0；
（2）y=f（x）-m恰有一零點轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m有且只有一個交點，從而討論a的不同取值，從而求m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+bx）e^ax，
∴f′（x）=（2x+b）e^ax+a（x²+bx）e^ax
=（ax²+（ab+2）x+b）e^ax，
∴f′（0）=b=0，
即b=0；
（2）故f（x）=x²e^ax，f′（x）=（ax²+2x）e^ax，
①若a=0，則f（x）=x²，
則若使y=f（x）-m恰有一零點，
則m=0；
②若a＞0，則f（x）=x²e^ax有兩個極值點，
f_極大值（x）=f（-

2

a

）=

4

a2e2

，
f_極小值（x）=f（0）=0，
故若使y=f（x）-m恰有一零點，
則m＞

4

a2e2

或m＜0．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及極值的應用，同時考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的交點的關系，屬于中檔題．