Question

某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人）另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類工人）．現(xiàn)用分層抽樣的方法（按A類、B類分兩層）從該工廠的工人中抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）．從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果如下表1和表2．
表1

生產(chǎn)能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	8	x	3	2

表2

生產(chǎn)能力分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數(shù)	6	y	27	18

（Ⅰ）先確定x、y的值，再補(bǔ)齊下列頻率分布直方圖．

（Ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)”？

生產(chǎn)能力分組	[110，130）	[130，150）	合計(jì)
A類工人
B類工人
合計(jì)

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k）	0，05	0.025	0.01	0.005
k	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析：（I）根據(jù)總體數(shù)和樣本容量，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到兩個(gè)組各自需要抽取的人數(shù)，減去已知的人數(shù)，得到x，y的值，根據(jù)所給的兩個(gè)頻率分布表做出頻率分布直方圖．
（II）先根據(jù)所給的數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，把列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入求觀測(cè)值的公式，求出這組數(shù)據(jù)的觀測(cè)值，把觀測(cè)值同臨界值表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較得到對(duì)應(yīng)的概率的值，得到有99.9%的把握認(rèn)為“工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)”

解答：解：（Ⅰ）∵從該工廠的工人中抽取100名工人，其中250名A類工人，另外750名B類工人，
∴要從A類工人中抽取25個(gè)人，從B類工人中抽取75個(gè)人，
∴x=25-8-3-2=12，y=75-6-27-18=24
∴頻率分布直方圖是：

（II）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可以得到列聯(lián)表：

生產(chǎn)能力分組	[110，130）	[130，150）	合計(jì)
A類工人	20	5	25
B類工人	30	45	75
合計(jì)	50	50	100

把列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入求觀測(cè)值的公式得到K²=

100(900-150)2

50×50×25×75

=12．
由于K²＞10.828，
所以有99.9%的把握認(rèn)為“工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查分層抽樣，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)分層抽樣做出兩個(gè)數(shù)值，再進(jìn)行下面的畫圖和列表，本題是一個(gè)中檔題目．