Question

某中學(xué)組建了A、B、C、D、E五個不同的社團(tuán)組織，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須參加且只能參加一個社團(tuán)，假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團(tuán)的選擇是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩人參加同一社團(tuán)的概率；
（2）（文科）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的概率；
（3）（理科）設(shè)隨機(jī)變量ξ為甲、乙、丙這三個學(xué)生參加A社團(tuán)的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個社團(tuán)的方法數(shù)是5種，
故共有5×5×5=125（種）．
三名學(xué)生選擇三門不同社團(tuán)的概率為：=．
∴三名學(xué)生中至少有兩人選修同一社團(tuán)的概率為：1-=．
（2））（文科）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的方法數(shù)是12種
故所求概率為
（3）由題意：ξ=0，1，2，3
．P（ξ=0）==； P（ξ=1）=；
P（ξ=2）=； P（ξ=3）=．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

數(shù)學(xué)期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=．
分析：（1）每個學(xué)生參加社團(tuán)，有5種選法，由分步乘法原理即可求解，“甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名學(xué)生參加同一社團(tuán)”的對立事件為“三名學(xué)生選擇三個不同社團(tuán)”，利用對立事件的概率關(guān)系求解．
（2）求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的方法數(shù)是12種，從而求出求甲、乙、丙三人中恰有兩人參加A社團(tuán)的概率；
（3）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，利用古典概型分別求概率，列出分布列求期望即可．
點評：本題考查計數(shù)原理、古典概型、及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，難度不大．