已知f1（x）=x+1，且fn（x）=f1[fn-1（x）]，（n≥2，n∈N+）
（1）求f2（x），f3（x）的表達式，猜想fn（x）的表達式，并用數(shù)學歸納法證明；
（2）若關于x的函數(shù)g(x)=x2+f1(x)+f2(x)+…+fn(x)，(n∈N*)在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為12，求n．
分析：（1）利用f1（x）=x+1，且fn（x）=f1[fn-1（x）]，計算可得f2（x），f3（x）的表達式，猜想fn（x）=x+n，再用數(shù)學歸納法證明即可；
（2）由fn（x）=x+n，可得f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=nx+
n(n+1)
2
，再利用配方法確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為12，即可求得n的值．
解答：（1）解：f2（x）=f1[f1（x）]=x+2，f3（x）=f1[f2（x）]=x+3，
猜想fn（x）=x+n
證明：①當n=1時，f1（x）=x+1，成立；
②假設n=k時成立，即fk（x）=x+k，則n=k+1時，fk+1（x）=f1[fk（x）]=x+k+1
∴n=k+1時，結論成立
由①②可知fn（x）=x+n；
（2）解：∵fn（x）=x+n
∴f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=nx+
n(n+1)
2

∴g（x）=x2+f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=x2+nx+
n(n+1)
2
=（x+
n
2
）2+
n2+2n
4

①當-
n
2
＞-1，即n＜2時，函數(shù)在（-∞，-1]上為減函數(shù)，∴x=-1時，g（x）min=
n2-n+2
2
=12，方程無正整數(shù)解舍去；
②當-
n
2
≤-1，即n≥2時，x=-
n
2
時，g（x）min=
n2+2n
4
=12，∴n=6或n=-8（舍去）
綜上，n=6．
點評：本題考查學生的計算能力，考查數(shù)學歸納法，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在R上定義運算：p?q=-
1
3
(p-c)(q-b)+4bc（b、c∈R是常數(shù)），已知f1（x）=x2-2c，f2（x）=x-2b，f（x）=f1（x）f2（x）．
①如果函數(shù)f（x）在x=1處有極值-
4
3
，試確定b、c的值；
②求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
③記g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的取值范圍．（參考公式：x3-3bx2+4b3=（x+b）（x-2b）2）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f1（x）=x（x≠0），若對任意的n∈N*，fw（1）=1，且fmax（x）=fv（x）+xfne（x）．
（1）求fn（x）的解析式；
（2）設Fn（x）=
fn(x)(fn(x)+1)2
，求證：F1（2）+F2（2）+…Fn（2）＜1；
（3）若ge（x）=C6020+2C601f1（x）+3C602f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x），是否存在實數(shù)x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）a，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（p1，p2為實數(shù)），函數(shù)f（x）定義為：對于每個給定的x，f(x)=
f1(x) ，f1(x)≤f2(x)
f2(x) ，f1(x)＞f2(x)
．
（1）討論函數(shù)f1（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f2（x）≥6；
（3）若f（x）=f1（x）對任意實數(shù)x都成立，求p1，p2滿足的條件．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函數(shù)f（x）定義為：對每個給定的實數(shù)x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）對所有實數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）設t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．設函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上的單調遞增區(qū)間的長度之和為d（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），求
d
t
；
（3）設g（x）=x2-2bx+3．當a=2時，若對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求實數(shù)b的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案