【題目】在直角坐標平面上，稱橫、縱坐標都是有理數(shù)的點為有理點．求滿足如下條件的最小正整數(shù)：每一個圓周上含有個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點．

【答案】的最小值為3

【解析】

首先證明：若一個圓的圓周含有3個有理點，則該圓周上一定含有無窮多個有理點．

設(shè)平面上的圓周上含有2個有理點（），圓心．

由于線段的垂直平分線過圓心，則

由于（）都是有理數(shù)，因此，上述關(guān)于的二元一次方程組的解都是有理數(shù)，即是有理點．設(shè)有理點的坐標為

其中，（）．

則

．

故點（）都在的圓周上，即的圓周上有無窮多個有理點．其次，構(gòu)造一個圓周上只含有兩個有理點的實例．．容易驗證，都在圓周上．

若圓周上還有不同于的有理點，

則，即．

因為左端為有理數(shù)，為無理數(shù)，所以，．進而．

故．這與不同于的假定矛盾．綜上所述，的最小值為3．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)在點點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，內(nèi)接于，，直線切于點，弦，與交于點.

(1)求證：；

(2)若，，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.

(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的線面角的正弦值為，求長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E的一個頂點為，焦點在x軸上，若橢圓的右焦點到直線的距離是3．

求橢圓E的方程；

設(shè)過點A的直線l與該橢圓交于另一點B，當弦AB的長度最大時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當時，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個極值點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知偶函數(shù)滿足且，當時,，關(guān)于的不等式在上有且只有200個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求證：對任意成立.

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