Question

【題目】已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓的一個頂點為B（0，1），B到焦點的距離為2．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P，Q是橢圓上異于點B的任意兩點，且BP⊥BQ，線段PQ的中垂線l與x軸的交點為（x0 ， 0），求x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓的一個頂點為B（0，1），B到焦點的距離為2．

∴由條件：b=1，a=2，

∴橢圓的標準方程為： =1

（2）解：①當直線PQ斜率k=0時，線段PQ的中垂線l在x軸上的截距為0；

②設PQ：y=kx+m，（k≠0），

則： ﹣4=0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ，

∵BP⊥BQ，∴ ，

∴（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2=0（1+k2） =0

∴5m2﹣2m﹣3=0m=﹣ 或m=1（舍去），

∴PQ為：y=kx﹣ ，

∴xM= ，yM= ，

∴線段PQ的中垂線l為：y+ ，

∴在x軸上截距x0= ，

∴|x0|= ，

∴﹣ 且x0≠0，

綜合①②得：線段PQ的中垂線l在x軸上的截距的取值范圍是

【解析】（1）由條件b=1，a=2，由此能求出橢圓的標準方程．（2）當直線PQ斜率k=0時，線段PQ的中垂線l在x軸上的截距為0；當k≠0時，設PQ：y=kx+m，取橢圓聯(lián)立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韋達定理、向量垂直、中垂線性質(zhì)，結合已知條件能求出線段PQ的中垂線l在x軸上的截距的取值范圍．