Question

已知函數(shù)f(x)＝lg［(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1］

(1)若f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，求實數(shù)a的取值范圍．

(2)若f(x)的值域為(－∞，＋∞)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵f(x)的定義域為(－∞，＋∞) ∴(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0，對一切x∈R恒成立 當a2－1≠0時， ∴a＜－1或a＞ 當a2－1＝0時，若a＝－1，則f(x)＝0，定義域也是(－∞，＋∞) 若a＝1，則f(x)＝lg(2x＋1)，定義域不是(－∞，＋∞) 故所求a的取值范圍是(－∞，－1]∪(，＋∞)． (2)∵f(x)值域為(－∞，＋∞) ∴只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)內(nèi)的任何一個值． ∴ ∴1＜a≤ 又當a2－1＝0時，若a＝1，則f(x)＝lg(2x＋1)其值域也 是(－∞，＋∞)，若a＝－1，則f(x)＝0不合題意 ∴所求a的取值范圍是［1，］

提示：

本題考查了換元轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，理解對數(shù)函數(shù)概念，特別是把握定義域、值域的含義是解題的關(guān)鍵．特別是(2)中，f(x)值域是R的含義是真數(shù)部分即t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1在x取值時需取滿(0，＋∞)的每一個值，否則f(x)的值域就不是R，這就要求t關(guān)于x的二次函數(shù)不能有比零大的最小值．因此Δ≥0，這時要注意f(x)的定義域就不是R集合了，而是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1，x2分別為相應(yīng)二次方程的小根、大根．