如圖，已知雙曲線C1：＝1(m＞0，n＞0)，圓C2：(x－2)2＋y2＝2，雙曲線C1的兩條漸近線與圓C2相切，且雙曲線C1的一個(gè)頂點(diǎn)A與圓心C2關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，設(shè)斜率為k的直線l過點(diǎn)C2．

(1)求雙曲線C1的方程；

(2)當(dāng)k＝1時(shí)，在雙曲線C1的上支上求一點(diǎn)P，使其與直線l的距離為2．

答案：
解析：

　　解：(1)雙曲線C1的兩條漸近線方程為：

　　y＝±x，頂點(diǎn)A為(0，)

　　∵雙曲線C1的兩漸近線與圓C2：(x－2)2＋y2＝2相切

　　∴＝

　　即＝1　　　　　�、�

　　又∵A(0，)與圓心C2(2，0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱

　　∴＝2　　　　　　　②

　　由①、②解得：m＝n＝4

　　故雙曲線C1的方程為：y2－x2＝4

　　(2)當(dāng)k＝1時(shí)，由l過點(diǎn)C2(2，0)知：

　　直線l的方程為：y＝x－2

　　設(shè)雙曲線C1上支上一點(diǎn)P(x0，y0)到直線l的距離為2，則

　　故

　　或

　　解得或

　　又∵點(diǎn)P(x0，y0)在雙曲線C1的上支上，故y0＞0

　　故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線C1：
y2
m
-
x2
n
=1（m＞0，n＞0），圓C2：（x-2）2+y2=2，雙曲線C1的兩條漸近線與圓C2相切，且雙曲線C1的一個(gè)頂點(diǎn)A與圓心C2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)斜率為k的直線l過點(diǎn)C2．
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，在雙曲線C1的上支上求一點(diǎn)P，使其與直線l的距離為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”
（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線C1:，曲線C2:.P是平面內(nèi)一點(diǎn).若存在過點(diǎn)P的直線與C1、C2都有共同點(diǎn)，則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”.

（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證＞1，進(jìn)而證明圓點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”；

（3）求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（上海卷解析版） 題型：填空題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)“

（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”；

（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海 題型：解答題

如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1-C2型點(diǎn)“
（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”
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