Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為PA，BD的中點，PA=PD=AD=2．
（1）證明：EF∥平面PBC；
（2）若$PB=\sqrt{6}$，求三棱錐A-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PBC．
（2）取AD中點O，連接OB，OP，推導(dǎo)出BO⊥AD，PO⊥BO，從而PO⊥平面ABCD．由此${V_{A-DEF}}={V_{E-ADF}}=\frac{1}{3}{S_{△ADF}}•EG$．從而能求出三棱錐A-DEF的體積．

解答 證明：（1）連接AC，因為四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)為BD中點，
所以F為AC中點．
又因為E為PA中點，所以EF∥PC，又EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．  …（6分）
解：（2）取AD中點O，連接OB，OP，因為PA=PD，
所以PO⊥AD，因為菱形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD是等邊三角形，所以BO⊥AD，
由已知$BO=\sqrt{3}，PO=\sqrt{3}$，若$PB=\sqrt{6}$，
由BO²+PO²=PB²得PO⊥BO，
所以平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
過E作EG⊥AD于G，則EG⊥平面ABCD．
因為E為PA中點，所以$EG=\frac{1}{2}OP=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以${V_{A-DEF}}={V_{E-ADF}}=\frac{1}{3}{S_{△ADF}}•EG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{4}$． …（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．