【題目】如圖，在直三棱柱中，，且，點M在棱上，點N是BC的中點，且滿足.

（1）證明：平面；

（2）若M為的中點，求二面角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，從而，由，得，再由，能證明平面．
（2）以A為原點，分別以AB、AC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

解：（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴

∵，平面，平面，且，

∴平面，（或者由面面垂直的性質(zhì)證明）

又∵平面，∴

∵，∴，

∵，平面，平面，且，

∴平面

（2）以A為原點，分別以AB、AC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系﹐

設(shè)，則，，，，，，，

∵，∴，∴

∴，，

設(shè)平面法向量為

，

∴，∴可取

設(shè)平面法向量為

，

∴，∴可取

∴

所以二面角的正弦值為.

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