Question

19．已知F₁、F₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₁且與x軸垂直的直線與雙曲線左支交于點(diǎn)M，N，已知△MF₂N是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用雙曲線的對(duì)稱性及直角三角形，可得∠MF₂F₁=45°，從而|MF₁|=|F₁F₂|，求出關(guān)于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．

解答 解：∵△MF₂N是等腰直角三角形，∴∠MF₂N為直角，
∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線MN垂直x軸，
∴∠MF₂F₁=45°，
∴|MF₁|=|F₁F₂|，∵F為左焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（-c，0），
令x=-c，則有y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴|MF₁|=$\frac{^{2}}{a}$=2c，∴c²-2ac-a²=0
∴e²-2e-1=0
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的對(duì)稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．