Question

（2003•朝陽區(qū)一模）解不等式

1

log2(x-1)

＜

1

log2 x+1

．

Answer 1

分析：由題意可得

x-1＞0 x-1≠1 x+1＞0 x+1≠1.

，解得x＞1且x≠2．分當1＜x＜2和當x＞2兩種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意可得

x-1＞0 x-1≠1 x+1＞0 x+1≠1.

，…（2分）
解得：x＞1且x≠2．…（4分）
（1）當1＜x＜2時，有0＜x-1＜1．…（6分）
∴log2(x-1)＜0，log2

x+1

＞0．∴原不等式顯然成立，解得1＜x＜2．…（8分）
（2）當x＞2時，有x-1＞1．…（10分）
∴log2(x-1)＞0，log2

x+1

＞0．
∴原不等式變?yōu)?log2

x+1

＜log2(x-1)，
即

x＞2 x+1 ＜x-1

，解得 x＞3．…（12分）
∴原不等式解集為{x|1＜x＜2，或x＞3}．…（14分）

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題