【題目】已知函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求常數(shù)k的值;
(Ⅱ)若a>1,試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(Ⅲ)若a=2,且函數(shù)g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[0,1]上的最小值為1,求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】(Ⅰ)k=1; (Ⅱ)見(jiàn)解析; (Ⅲ)m=1.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)定義域?yàn)?/span>R上的奇函數(shù)滿足f(0)=0,代入即可求得k的值。
(Ⅱ)利用定義法,設(shè)出x1、x2,通過(guò)做差法判斷與0的大小關(guān)系即可證明單調(diào)性。
(Ⅲ)將a的值代入表達(dá)式,化簡(jiǎn)即可得g(x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,利用換元法令t=2x-2-x,由x的范圍求得t的范圍。將x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),構(gòu)造h(t)=(t-m)2+2-m2,討論m的取值范圍,進(jìn)而利用最小值求得m的值。
(Ⅰ)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是R上的奇函數(shù),
則f(0)=k-1=0,解可得k=1,
當(dāng)k=1時(shí),f(x)=ax-a-x,為奇函數(shù),
故k=1.
(Ⅱ)根據(jù)題意,設(shè)x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=(-)(1+),
又由x1<x2,
則(-)<0,(1+)>0,
則f(x1)-f(x2)<0,
故函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)題意,若a=2,則函數(shù)g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)
=22x+2-2x-2m(2x-2-x)
=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,
令t=2x-2-x,又由x∈[0,1],則t∈[0,],
則h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈[0,],
①,當(dāng)m≤0時(shí),h(t)min=h(0)=2≠1,不符合題意;
②,當(dāng)0<m<,h(t)min=h(m)=2-m2=1,
解可得m=±1,
又由0<m<,則m=1;
③,當(dāng)m≥時(shí),h(t)min=h()=-3m=1,
解可得m=<,不符合題意,
綜合可得:m=1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)是( )
A. 單調(diào)增函數(shù),且 B. 單調(diào)減函數(shù),且
C. 單調(diào)增函數(shù),且 D. 單調(diào)減函數(shù),且
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【題目】借助計(jì)算機(jī)(器)作某些分段函數(shù)圖象時(shí),分段函數(shù)的表示有時(shí)可以利用函數(shù),例如要表示分段函數(shù)g(x)=總可以將g(x)表示為g(x)=xh(x-2)+(-x)h(2-x).
(1)設(shè)f(x)=(x2-2x+3)h(x-1)+(1-x2)h(1-x),請(qǐng)把函數(shù)f(x)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式;
(2)已知G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)是R上的減函數(shù),求a的取值范圍;
(3)設(shè)F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),求函數(shù)F(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(k∈R)
(Ⅰ)若該函數(shù)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)k及f(log32)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=x+log3f(x)有零點(diǎn),求k的取值范圍.
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【題目】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn), ,且滿足,證明直線過(guò)軸上一定點(diǎn),并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且滿足f(2)=1,f(x+4)=2f(x)+f(1),則f(3)=______.
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【題目】已知,且sin(α+β)=3sin(α-β).
(1)若tanα=2,求tanβ的值;
(2)求tan(α-β)的最大值.
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【題目】已知橢圓C: =1過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.
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