【題目】如圖,AC是圓O的直徑,點(diǎn)B在圓O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于點(diǎn)M,EA⊥平面ABC,F(xiàn)C∥EA,AC=4,EA=3,F(xiàn)C=1.
(Ⅰ)證明:EM⊥BF;
(Ⅱ)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:∵EA⊥平面ABC,BM平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圓O的直徑,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴ ,AM=3,CM=1.∵EA⊥平面ABC,F(xiàn)C∥EA,
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理證得).
∵M(jìn)F∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而B(niǎo)F平面MBF,∴EM⊥BF.
(Ⅱ)延長(zhǎng)EF交AC于G,連BG,過(guò)C作CH⊥BG,連接FH.由(1)知FC⊥平面ABC,BG平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH平面FCH,∴FH⊥BG,∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的
二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴ ,
由 ,得GC=2.
∵ ,
又∵△GCH∽△GBM,∴ ,則 .
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°,
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)根據(jù)線面垂直得到線與線垂直,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,得到兩個(gè)三角形是等腰直角三角形,有線面垂直得到結(jié)果.(Ⅱ)做出輔助線,延長(zhǎng)EF交AC于G,連BG,過(guò)C作CH⊥BG,連接FH,做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角,求出平面角.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)集A={a1 , a2 , …,an}(1=a1<a2<…<an , n≥2)具有性質(zhì)P:對(duì)任意的k(2≤k≤n),i,j(1≤i≤j≤n),使得ak=ai+aj成立.
(Ⅰ)分別判斷數(shù)集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求證:an≤2a1+a2+…+an﹣1(n≥2);
(Ⅲ)若an=72,求數(shù)集A中所有元素的和的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè) ,已知0<a<b<c,且f(a)f(b)f(c)<0,若x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),則下列不等式不可能成立的是( )
A.x0<a
B.0<x0<1
C.b<x0<c
D.a<x0<b
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)= f(x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)= ,函數(shù)g(x)=x3+3x2+m.若對(duì)任意s∈[﹣4,﹣2),存在t∈[﹣4,﹣2),不等式f(s)﹣g(t)≥0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣12]
B.(﹣∞,14]
C.(﹣∞,﹣8]
D.(﹣∞, ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=4 ρsin(θ+ )﹣4.
(Ⅰ)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程,并指出其表示何種曲線;
(Ⅱ)若曲線C1與曲線C2交于A、B兩點(diǎn),求|AB|的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公元263年左右,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn),當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí),多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積,由此創(chuàng)立了割圓術(shù),利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3,14,這就是著名的徽率.如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖,則輸出的n值為( ) 參考數(shù)據(jù): ,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305.
A.12
B.24
C.48
D.96
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為 ,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:|OR||OS|是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù) 的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=f(x)的圖象.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若 ,求sinB的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(2 cosx,cosx), =(sinx,2cosx)(x∈R),設(shè)函數(shù)f(x)= ﹣1. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若f(A)=2,B= ,邊AB=3,求邊BC.
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