Question

已知函數．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若對任意的實數，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）若關于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數，令導函數為0求出兩個根，判斷出根兩邊的導數的符號，求出函數的極值即最值．
（II）分離出參數a，構造兩個新函數，通過求導數，判斷出函數的單調性，求出函數的最值，求出a的范圍．
（III）分離出參數b，構造函數，通過求導數求出函數的極值，求出參數b的范圍．
解答：解：（I），令f'（x）=0，得或x=-1（舍）
當時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，∴是函數在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞對恒成立
若即恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得或
設；
依題意得a＞h（x）或a＜g（x）在恒成立
∵，
∴g（x），h（x）都在上遞增
∴

（3）由f（x）=-2x+b知，
令，則
當時，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在上遞增；當時，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在上遞減，而，∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有兩個不同實根等價于，解得
點評：解決不等式恒成立求參數的范圍，通常通過構造新函數，通過新函數導數求出函數的最值，進一步求出參數的范圍．