Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．

（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大��；
（3）求點G到平面BCE的距離．

Answer 1

（1）點F應是線段CE的中點（2）（3）

試題分析：解法一：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點A和點E，則各點的坐標為D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），
B（2，0，1），，
（1）點F應是線段CE的中點，下面證明：

設F是線段CE的中點，則點F的坐標為，
∴，取平面ACD的法向量，
則，∴BF∥平面ACD；    
（2）設平面BCE的法向量為，則，且，
由，，
∴，不妨設，則，即，
∴所求角θ滿足，∴；    
（3）由已知G點坐標為（1，0，0），∴，
由（2）平面BCE的法向量為，∴所求距離．                      
解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

設F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，連接FH，則FH∥=，
∴FH∥=AB，∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（2）由已知條件可知△ACD即為△BCE在平面ACD上的射影，
設所求的二面角的大小為θ，則，
易求得BC=BE=，CE=，∴，
而，∴，而，∴；        
（3）連接BG、CG、EG，得三棱錐C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，設G點到平面BCE的距離為h，則V_C﹣BGE=V_G﹣BCE即，由，，，
∴即為點G到平面BCE的距離．
點評：當已知條件中出現(xiàn)了從同一點出發(fā)的三線兩兩垂直或可以平移為三線兩兩垂直時，常利用空間向量求解，只需寫出各點坐標代入相應公式即可