Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示：

（I）求證：PA⊥BD；
（II）連接AC、BD交于點(diǎn)O，在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由三視圖確定直觀圖的形狀，利用線面垂直的判定方法，證明BD⊥平面PAC，即可證得結(jié)論；
（II）先確定直線OQ與平面ABCD所成的角，再判斷出DP⊥OQ，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答：（I）證明：由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD，
連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO．     …（2分）
因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PO，AC∩PO=O
所以BD⊥平面PAC，…（4分）
因?yàn)镻A?平面PAC
所以BD⊥PA．      …（6分）
（II）解：由三視圖可知，BC=2，PA=2

2

，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，
因?yàn)锳C⊥OQ，AC⊥OD，所以∠DOQ為直線OQ與平面ABCD所成的角   …（8分）
在△POD中，PD=2

2

，OD=

2

，則∠PDO=60°，
在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°，所以DP⊥OQ．       …（10分）
所以O(shè)D=

2

，QD=

2

2

．
所以

DQ

DP

=

1

4

．      …（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．