Question

正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為

3

．從正四棱柱的12條棱中任取兩條，設(shè)η為隨機(jī)變量，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，記η=0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，η的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，記η=3．
（1）求概率p（η=0）；
（2）求η的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望Eη．

Answer 1

分析：（1）求出兩條棱相交時(shí)，相交棱的對(duì)數(shù)，即可由概率公式求得概率．
（2）求出兩條棱平行且距離是

3

的有4對(duì)，距離是2的有4對(duì)，距離是

2

的有2對(duì)，距離為1的共有8對(duì)，兩條棱為異面的共有24對(duì)，即可求出相應(yīng)的概率，從而求出隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正四棱柱8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意一個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，共有8C

2 3

=24對(duì)相對(duì)棱．
所以P（η=0）=

8 C 2 3

C 2 12

=

4

11

，即任取兩條棱相交的概率為

4

11

．（5分）
（2）若兩條棱平行時(shí)，則它們的距離有4種，分別是：距離是

3

的有4對(duì)，距離是2的有4對(duì)，距離是

2

的有2對(duì)，距離為1的共有8對(duì)，兩條棱為異面的共有24對(duì)，于是
P（η=

3

）=

4

C 2 12

=

2

33

，P（η=2）=

4

C 2 12

=

2

33

，P（η=

2

）=

2

C 2 12

=

1

33

，P（η=1）=

8

C 2 12

=

4

33

，
P（η=3）=

4

11

．
隨機(jī)變量η的分布列是：

η	0	1	2	3	2	3
P	4 11	4 33	1 33	2 33	2 33	4 11

（10分）
所以數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×

4

11

+1×

4

33

+

2

×

1

33

+

3

×

2

33

+2×

2

33

+3×

4

11

=

44+ 2 +2 3

33

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，求概率是關(guān)鍵．