Question

（2013•寧德模擬）已知P是函數(shù)y=f（x）（x∈[m，n]）圖象上的任意一點，M、N為該圖象的兩個端點，點Q滿足

MQ

=λ

MN

，

PQ

•i=0（其中0＜λ＜1，

i

為x軸上的單位向量），若|

PQ

|≤T（T為常數(shù)）在區(qū)間[m，n]上恒成立，則稱y=f（x）在區(qū)間[m，n]上具有“T級線性逼近”．現(xiàn)有函數(shù)：①y=2x+1；②y=

1

x

；③y=x²．則在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級 線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由

MQ

=λ

MN

，可得Q點在線段MN上，由

PQ

•

i

=0，可得P，Q兩點的橫坐標相等，故|

PQ

|即為P，Q兩點縱坐標差的絕對值，分析三個函數(shù)中，x∈[1，2]時，|

PQ

|≤

1

4

是否恒成立，可得答案．

解答：解：由

MQ

=λ

MN

，可得Q點在線段MN上，由

PQ

•

i

=0，可得P，Q兩點的橫坐標相等，故|

PQ

|即為P，Q兩點縱坐標差的絕對值，
當(dāng)f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，則M（1，3），N（2，5），函數(shù)y=f（x）的圖象即為線段MN，故|

PQ

|=0≤

1

4

恒成立，滿足條件；
當(dāng)f（x）=

1

x

時，則M（1，1），N（2，

1

2

），線段MN的方程為y=-

1

2

x+

3

2

，此時|

PQ

|=-

1

2

x+

3

2

-

1

x

，則|

PQ

|′=-

1

2

+

1

x2

，令|

PQ

|′=0，則x=

2

，故當(dāng)x=

2

時，|

PQ

|取最大值

3

2

-

2

，故|

PQ

|≤

1

4

恒成立，滿足條件；
當(dāng)f（x）=x²．則M（1，1），N（2，4），線段MN的方程為y=3x-2，此時|

PQ

|=-x²+3x-2，當(dāng)x=

3

2

時，|

PQ

|取最大值

1

4

，故|

PQ

|≤

1

4

恒成立，滿足條件；
故在區(qū)間[1，2]上具有“

1

4

級線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為3個
故選D

點評：本題考查的知識點函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的值域，正確理解“T級線性逼近”定義，是解答的關(guān)鍵．